合意による退職であれば、解雇ではないのですから解雇予告手当を支払う必要はありません。
しかし、退職届の提出がない場合、退職の「合意」を立証するのが難しくなる可能性があります。また、解雇予告手当の請求であれば、３０日分の給料相当額を支払えば済みますが、まだ労働契約が継続していると主張されると、現在までの未払給料を要求される可能性すら残ってしまいます。
このあたりを見据えて落ち着き所を検討する必要があります。

労働基準法２６条は、使用者の責に帰すべき事由による休業の場合には休業手当を支払わなければならないと規定しています。
問題は、震災による業績悪化が「使用者の責めに帰すべき事由」にあたるかどうかです。
地震により工場が倒壊したなど直接の被害を受けた場合は「使用者の責め」とはいえません。大口取引先の被災などや計画停電による休業も、休業手当支払いの除外事由にあたる場合があります。

労災といえるためには、業務に起因して発生した傷病であることが必要ですが、業務起因性を判断するのは会社でもなく、従業員でもなく、労働基準監督署です。
社員の言い分も十分に聞き、会社としての立場も明確にした上で、会社として労災の証明を行うかを検討しましょう。
手続は、会社が労災と認めて申請しても、労働基準監督署が労災と認めない場合もありますし、逆に会社が労災ではないと考えても、従業員が単独で申請することも可能です。

病気自体が解雇の理由になるわけではありません。
休職期間終了後に復帰ができない場合には解雇する旨の就業規則があれば、これに則り解雇を検討します。
なお、実際には「解雇」ではなく、「退職」する扱いにする就業規則が多いのが現状です。

職場復帰が可能か否かは、医師の診断書などを参考に会社が判断することになります。

※業務上の理由により疾病にかかった場合（労災）を除きます。

社員が疾病にかかり、業務に耐えられない場合には、休職を命じることができます。
休職期間中は、会社が給料を支払う必要はありません。
社員は、健康保険組合から傷病手当金として一定額を受け取ることができます。

※業務上の理由により疾病にかかった場合を除きます。