試用期間後の本採用拒否は、法律上は解雇にあたります。ただし、解雇の正当事由が少しだけ緩やかに認められるのです。
経歴や賞罰の詐称が面接時には分からなかったことであること、その詐称が業務と関連することなどであれば、本採用を拒否して問題ありません。

合意による退職であれば、解雇ではないのですから解雇予告手当を支払う必要はありません。
しかし、退職届の提出がない場合、退職の「合意」を立証するのが難しくなる可能性があります。また、解雇予告手当の請求であれば、３０日分の給料相当額を支払えば済みますが、まだ労働契約が継続していると主張されると、現在までの未払給料を要求される可能性すら残ってしまいます。
このあたりを見据えて落ち着き所を検討する必要があります。

会社の金を使い込むなどは、業務上横領等の犯罪行為ですから、解雇が認められるのは当然です。
ただし、告訴などの手続については慎重に検討してください。
社員が会社の金を横領したということは、会社にとっても管理に落ち度があった側面が否定できないことも多く、告訴が公になると、自らの管理不行き届きを周囲に知らせることにもなりかねません。
また、損害賠償を求めて訴訟を提起しても、会社の管理責任も問われ、請求額を減額されること（過失相殺といいます）もありますし、請求が認められても相手に支払能力（資力）なければ意味がありません。
法的手段に訴えた方がいい場合もあれば、示談などの話し合いを進めた方がいい場合もあるのです。

就業規則で決められた解雇事由が存在するか否かを判断するのは、一次的には裁判所でも検察でもなく会社です。
したがって、会社が有する資料、事情から解雇事由があるといえる場合には解雇をすべきでしょう。

病気自体が解雇の理由になるわけではありません。
休職期間終了後に復帰ができない場合には解雇する旨の就業規則があれば、これに則り解雇を検討します。
なお、実際には「解雇」ではなく、「退職」する扱いにする就業規則が多いのが現状です。

職場復帰が可能か否かは、医師の診断書などを参考に会社が判断することになります。

※業務上の理由により疾病にかかった場合（労災）を除きます。